7.2. Числа Фибоначчи - математическая основа теории волн

Как признавал сам Эллиотт (естественно, только тем, кто с ним был вежлив), основой его теории стала последо­вательность чисел, открытая еще в 13 веке великим итальянским ученым Фибоначчи.
Купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, был, безусловно, самым значи­тельным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе матема­тических знаний трудно переоценить. Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.
В век Фибоначчи Возрождение было еще далеко, однако история великодушно даровала Италии промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руко­водил Фридрих II, император Священной Римской империи с 1220 года. Воспитанный в традициях южной Италии, Фридрих II был чрезвычайно далек от европейского христианского рыцарства.

Ну, например, столь любимые его дедом воинские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вот и говори после этого о сохранении вековых традиций! Впрочем, Бог с ними, золотыми рыбками… Особенно, когда вспоминаешь, что вместо турниров он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами. Чрезвычайно подозри­тельный субъект был, не правда ли?!
Вот на этих-то турнирах и наступил звездный час господина Фибоначчи. Именно там его несомненный талант раскрылся со всей полнотой и яркостью. Конечно, этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи. Для этого торговец взял сына с собой на Восток и приставил к нему арабских учителей. Как вы помните, на Востоке народ был развитый (продвинутый, по-нашему), особенно он развился в математике. Поэтому обра­зование, полученное Леонардо, было самым лучшим и современным по тем временам.
Прибавьте к этому образованию покровительство Фридриха и вы получите… выпуск научных трактатов Фибоначчи. Естественно, что работе Фибоначчи знакомство с вышеупомянутым товарищем… о, пардон, королем, было большим козырем.
Козырь был настолько значимый, а образование настолько хорошим, что свет увидели аж три большие работы Фибоначчи. Самая знаменитая и популярная из них называется "Liber Abaci". Благодаря именно этой книге Европа узнала индо-арабскую систему исчисления, которая позднее вытеснила традиционные для того времени римские числа. Работы Фибоначчи имели огромное значение для последующего развития математики, физики, астрономии и техники. В общем, у нас - Ломоносов, там - Фибоначчи.
Что же было такого сверхъестественного в работе "Liber Abaci"? Изюминка Фибоначчи заключалась в формуле для кроликов (вернее, их процесса размножения). Да-да, речь шла о кроликах, таких белых и пушистых, которых все любят. В контексте сюжета о размножении кроликов Фибоначчи приводит свою последовательность чисел как решение

математической задачи - задачи нахождения формулы размножения кроликов. Исходные данные просты: садим в клетку одного кролика, потом крольчиху - теперь их двое; а затем мы можем отдыхать - зверушки займутся процессом самостоятельно и после очередной счастливой кроличьей ночи будет их на свете столько, какое число стоит в последо­вательности Фибоначчи.
Числовая последовательность Фибоначчи такова: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (далее до бесконечности). Последовательность Фибоначчи - не просто набор чисел. Отнюдь, она имеет весьма любопытную особенность -прослеживается постоянная взаимосвязь между числами. И взаимосвязь эта такая:
Сумма любых двух соседних чисел равна следующему числу в последовательности. Например: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13 и так далее.
Отношение любого числа последовательности к сле­дующему постепенно приближается к 0,618. Например:
1:1 = 1
1:2 = 0,5
2:3 = 0,67
3:5 = 0,6
5:8 = 0,625
8:13 = 0,615
13:21 = 0,619 и так далее. Обратите внимание, что значение соотношений колеблется вокруг величины 0,618, причем размах флуктуаций постепенно уменьшается. Дабы избежать заблуждений, уточняем, что размах флуктуаций - это не размах крыльев, а размер колебаний около "средней линии". Короче говоря, есть котировки, а есть их разброс от среднего значения. Отдельные котировки увеличиваются или умень­шаются обычно так, что никакой четкой закономерности обнаружить невозможно, даже если есть какие-то туманные предположения. Вот и решили люди внести хоть какую-то определенность - решили называть эти спонтанные метания вокруг среднего значения флуктуацией и анализировать, так

сказать, степень хаотичности движения.
Отношение любого числа к предыдущему приблизительно равно 1,618 (величина обратная 0,618).
Например: 13:8 = 1,625 21:13 = 1,615 34: 21 = 1,619.
Чем выше числа, тем более они приближаются к вели­чине 0,618 и 1,618.
Отношение любого числа к следующему за ним через одно приближается к 0,382, а к предшествующему через одно - 2,618. Например: 13:34 = 0,382 34:13 = 2,615 и так далее.
Последовательность Фибоначчи содержит и другие любопытные соотношения (коэффициенты). Но те, которые мы привели выше - самые важные и известные.
На самом деле Фибоначчи вообще-то не является первооткрывателем этих пропорций. Дело в том, что коэффициент 1,618 или 0,618 был известен еще древне­греческим и древнеегипетским математикам. Они называли его "золотым коэффициентом" или "золотым сечением". Его глубокие следы можно обнаружить в музыке, изобра­зительном искусстве, архитектуре и биологии. Так, греки использовали принцип "золотого сечения" при строительстве Парфенона, египтяне - Великой пирамиды в Гизе. К тому же, свойства "золотого коэффициента" были хорошо известны Пифагору, Платону и Леонардо да Винчи. В общем, многие уважаемые господа знали об этих магических цифрах. Но возникает вопрос: а не могут ли они пригодиться и нам? И если да, то как же пользоваться таким великим открытием?
Пригодиться могут! Пользоваться просто!
Пропорции Фибоначчи дают ориентиры не только возможных уровней отката, но и указывают возможную величину хода в случае продолжения тенденции. Если после хода рынок откатывается, а затем продолжает движение в том же направлении, то в типичной ситуации величина продол­женного хода может составить 1.618.